Кратко: маятник не идеален как ходовой механизм из‑за потерь энергии, нелинейности уравнения движения и влияния внешних условий — это вызывает зависимость периода от амплитуды, трение и др. Ниже — конкретно и с формулами.
Причины и эффекты
- Базовое уравнение (точное и линейное приближение):
$$\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\sin \theta =0,$$ при малых углах $\sin \theta \approx \theta$ даёт
$$\ddot{\theta }+{\omega }_0^2\theta =0,{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{L}},T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$$
- Нелинейность → зависимость периода от амплитуды. Точный период через эллиптический интеграл:
$$T=4\sqrt{\frac{L}{g}}K(\sin (\frac{{\theta }_0}{2})),$$ для малых, но не нулевых амплитуд разложение даёт первую поправку
$$T\approx T_0(1+\frac{1}{16}{\theta }_0^2+\frac{11}{3072}{\theta }_0^4+\dots ),$$ где ${\theta }_0$ — амплитуда в радианах. Пример: при ${\theta }_0=3^{\circ }\approx 0.0524$ рад поправка $\approx 1.7\times 10^{-4}$, что даёт ошибку порядка $15$ с/сутки; при $10^{\circ }$ ошибка уже сотни секунд в сутки.
- Трение (демпфирование): учёт вязкого трения $2\beta \dot{\theta }$ даёт
$$\ddot{\theta }+2\beta \dot{\theta }+\frac{g}{L}\sin \theta =0.$$ Для линейного демпфированного осциллятора частота ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$, т.е. относительная смена периода $\sim -\frac{1}{2}(\beta /{\omega }_0{)}^2$. Больше важны не сама маленькая коррекция частоты, а то, что демпфирование снижает амплитуду: а амплитуда влияет на период (см. выше). Источники трения: подшипник/ось, сопротивление воздуха (линейное при малых скоростях или квадратичное при больших), трение в спусковом механизме (эскапменте).
- Эскапмент и импульсы: для часов маятник периодически "подпитывается" импульсами от механизма, которые вводят фазовые и амплитудные искажения (зависимые от нагрузки, износа, фазы удара). Это существенно нарушает изохронность.
- Температурная и геофизическая чувствительность:
- Тепловое расширение удлиняет стержень $L$: $\Delta T/T\approx \frac{1}{2}\Delta L/L$. Для стали $\alpha \sim 10^{-5}/K$ даёт относительную смену периода $\sim \frac{1}{2}\alpha \Delta T$. При $\Delta T=1$ K это ≈$5\times 10^{-6}$, т.е. ≈0.43 с/сутки.
- Изменения $g$ (высота, атмосфера, приливы Земли) меняют $T\propto g^{-1/2}$.
- Давление и плотность воздуха влияют на выталкивающую силу и сопротивление — смены частоты и демпфирования.
- Упругость и конструктивные эффекты: гибкость подвеса, изменение центра масс при нагреве, износ, асимметрия облают смещениями, влияющими на период.
Итог: основные ограничения точности — нелинейная зависимость периода от амплитуды (требует малых и стабильных амплитуд или специальных компенсирующих устройств), потеря энергии и взаимодействие со спуском/опорой (трение, воздух), и чувствительность к температуре и параметрам окружающей среды. Практические меры (низкое трение, вакуумная камера, температурная компенсация, малые амплитуды, аккуратный эскапмент) уменьшают ошибки, но полностью идеальным маятник быть не может из‑за перечисленных физических эффектов.