Planck: спектральная энергетическая яркость (на единицу длины волны) для абсолютно чёрного тела задаётся законом Планка
$$B_{\lambda }(T)=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}}-1},$$ где $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света, $k_B$ — постоянная Больцмана. Эта функция даёт форму спектра: при больших $\lambda$ (малая энергия фотонов) поведение приближённо как $\sim {\lambda }^{-4}$ (закон Рэлея — Джинса), то есть яркость растёт при уменьшении $\lambda$; при малых $\lambda$ появляющийся в знаменателе экспоненциальный член даёт экспоненциальное затухание. В результате — максимум при некоторой ${\lambda }_{\max }$.
Вин: поиск максимума $d{B}_{\lambda }/d\lambda =0$ даёт трансцендентное уравнение, записываемое через переменную $x=\frac{hc}{\lambda k_{B}T}$:
$$x=5(1-e^{-x}),$$ решение которого $x\approx 4.965114$. Отсюда закон смещения Вина в форме
$${\lambda }_{\max }T=b,b=\frac{hc}{k_{B}x}\approx 2.8977719\times 10^{-3}\text{м}\cdot \text{К}.$$ Следовательно оценка температуры по пиковой длине волны:
$$T=\frac{b}{{\lambda }_{\max }}.$$ Пример: при ${\lambda }_{\max }=600\text{нм}=600\times 10^{-9}\text{м}$ получаем $T\approx 2.8978\times 10^{-3}/6\times 10^{-7}\approx 4830\text{К}.$
Замечания и ограничения:
- Если спектр измеряется в частотной шкале, максимум смещается и константа будет другой (пик $B_{\nu }$ не соответствует тому же $\lambda$).
- Реальные тела (включая металлы) не являются идеальными чёрными телами: спектральная восприимчивость (эмиссивность) может зависеть от $\lambda$, поэтому оценка по пику даёт приблизительную температуру; для точных измерений используют калиброванные пирометры или спектральную подгонку с учётом эмиссивности.