Ключевая идея: в инерциальной системе абс. сил нет «центробежной», есть требуемая центростремительная сила; в невращающейся (со скважением ω) системе с диском вводятся фиктивные (неинерциальные) силы — центробежная, Кориолиса и (при изменяющемся ω) Эйлера. Роли сил и условие соскальзывания описываются так.
1) Удержание в покое (статическое трение)
- Частица, неподвижная относительно диска на расстоянии $r$, требует центростремительной силы величиной $m{\omega }^{2}r$ (инерц. система) для поддержания круговой траектории.
- Эту центростремительную силу обеспечивает сила трения между частицей и диском до её максимума: $f_s^{\max }={\mu }_{s}N={\mu }_{s}mg$ (горизонтальный диск, нормальная сила $N=mg$).
- Условие отсутствия соскальзывания:
$$m{\omega }^{2}r\le {\mu }_{s}mg\Rightarrow {\omega }^{2}r\le {\mu }_{s}g.$$ - Критический радиус:
$$r_c=\frac{{\mu }_{s}g}{{\omega }^2}.$$ Если $r>r_c$ (или при увеличении $\omega$) статическое трение не выдерживает — начинается соскальзывание.
2) Роль центробежной силы (в вращающейся системе)
- В системе, вращающейся с диском, вводится центробежная фиктивная сила наружу величиной $m{\omega }^{2}r$. Она создаёт «эффективный» потенциал
$$U_{\text{cf}}=-\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2,$$ и как бы «выталкивает» частицу наружу, уменьшая устойчивость удержания трением. Поэтому в этой системе соскальзывание естественно трактуется как преодоление сопротивления статического трения центробежной «тяжестью».
3) Переход к скольжению — динамика и кинетическая трение
- Как только условие превышено, трение переходит в кинетическое: $f_k={\mu }_{k}mg$ (направление противоположно относительной скорости частицы по поверхности).
- При упрощении (скорость относительного движения преимущественно радиальная наружу) в вращающейся системе радиальное уравнение можно записать приближённо как
$$m\ddot{r}=m{\omega }^{2}r-f_k\Rightarrow \ddot{r}={\omega }^{2}r-{\mu }_{k}g.$$ Если правая часть положительна — частица ускоренно уходит наружу.
4) Роль Кориолиса и направление силы трения при скольжении
- При радиальном движении в вращающейся системе действует Кориолисова сила величиной $2m\omega \dot{r}$, направленная тангенциально (она вызывает отклонение траектории и относительную тангенциальную скорость).
- Кинетическое трение действует против полной относительной скорости частицы по поверхности (имеет радиальную и тангенциальную компоненты), поэтому Кориолисова составляющая изменяет и направление трения, и момент импульса частицы (обмен угловым моментом с диском).
- В инерциальной системе то же: при скольжении трение снижает тангенсельную скорость $v_{\theta }$ частицы (изначально $v_{\theta }=\omega r$), а отсутствие достаточной центростремительной компоненты приводит к движению по более сложной траектории.
5) Эйлерова сила (при изменении угловой скорости)
- Если $\omega =\omega (t)$, появляется Эйлерова сила $-m\dot{\mathbf{\omega }}\times \mathbf{r}$, которая может давать дополнительную тангенциальную компоненту (ускорять или тормозить частицу относительно диска) и тем самым повлиять на момент и время соскальзывания.
6) Энергетика и диссипация
- При скольжении кинетическое трение рассеивает механическую энергию в тепло; часть кинетической энергии, связанной с вращением диска, может быть передана частице (изменение её кин. энергии и углового момента) и затем рассеяна.
Короткая сводка-формулы:
- Условие покоя: $m{\omega }^{2}r\le {\mu }_{s}mg.$ - Критический радиус: $r_c=\frac{{\mu }_{s}g}{{\omega }^2}.$ - При скольжении (приближённо, радиально): $\ddot{r}={\omega }^{2}r-{\mu }_{k}g.$ - Полные уравнения в вращающейся системе (векторно):
$$m\ddot{\mathbf{r}}={\mathbf{F}}_{\text{реальные}}-2m\mathbf{\omega }\times \dot{\mathbf{r}}-m\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})-m\dot{\mathbf{\omega }}\times \mathbf{r}.$$
Вывод: центробежный эффект создаёт внешнюю тенденцию к «выпадению» частицы; статическое трение противостоит до предела ${\mu }_{s}mg$; при превышении — трение переходит в кинетическое, возникает наружное ускорение (и тангенциальные эффекты через Кориолис), трение рассеивает энергию и меняет угловое движение частицы и диска.