Кратко и по сути — исторический путь, ключевые формулы и современная интерпретация.
1) Классическая идея (XIX — начало XX в.)
- Носитель заряда окружён электромагнитным полем, которое содержит энергию и импульс. Электромагнитная энергия поля определяется, в стандартной форме (SI), как
$$U_{\mathrm{em}}=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int E^{2}dV.$$ - Уже у Томсона/Гейвиса/Абрахама выявили, что поле ведёт себя как «дополнительная масса» тела. Для простейшей модели — заряженной сферической оболочки радиуса $R$ с энергией $U$ классический расчёт поля даёт выражение для эффективной электромагнитной массы
$$m_{\mathrm{em}}=\frac{4}{3}\frac{U}{c^2}.$$ Это и есть знаменитая «проблема $4/3$»: формула не совместима с простой формулой эквивалентности массы и энергии $m=U/c^2$.
- Чтобы устранить расхождение, Пуанкаре и др. вводили внутренних (неэлектромагнитных) упругих напряжений (так называемые «Poincaré stresses»), которые дают отрицательный вклад в импульс/энергию и восстанавливают ковариантность и $m_{\mathrm{tot}}=U_{\mathrm{tot}}/c^2$.
2) Динамика и реакция собственного поля
- При ускорении заряда поле излучает, и возникает сила реакции собственного поля. В некорректной нерелятивистской форме Абрахама — Лоренца:
$$F_{\mathrm{rad}}=\frac{q^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\ddot{v}$$ (второй производной скорости по времени). Релятивистская версия — уравнение Абрахама–Лоренца–Дирака — содержит проблемы (бегущие решения, предускорение).
- Современный практический подход — вывести уравнения как эффективные, применять «reduction of order» или использовать уравнение Ландау–Лифшица, чтобы избежать некорректных решений.
3) Эксперименты
- Ранние опыты (Kaufmann, Bucherer и др.) исследовали зависимость «электронной массы» от скорости; результаты в итоге согласуются с релятивистским ростом импульса и не подтверждали простую модель чисто электромагнитной массы как единственной причины инерции.
- Для связанных систем (атомы, ядра, заряжённые конденсаторы) вклад электромагнитной энергии в массу наблюдаем: «дефект массы» в ядерной физике соответствует вкладом всех связующих энергий, включая электромагнитную, по $E=m{c}^2$. Это экспериментально подтвердимо.
4) Современная теория поля (классика → квантовая теория)
- В релятивистской классической электродинамике правильная отправная точка — тензор энергии-импульса поля
$$T_{\mathrm{em}}^{\mu \nu }=F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }+\frac{1}{4}{g}^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }.$$ Для замкнутой системы суммарный тензор поля + механики (включая любые внутренние напряжения) сохраняется; тогда полная энергия и импульс дают ковариантную массу $M$ с $E_{\mathrm{tot}}=M{c}^2$. Таким образом «4/3-проблема» решается корректным учётом всех вкладов в $T^{\mu \nu }$.
- В квантовой электродинамике (QED) точечный электрон имеет дивергентную «самоэнергию»; это устраняется процедурой переопределения (ренормализации): физическая масса
$$m_{\mathrm{phys}}=m_0+\delta m_{\mathrm{em}},$$ где $m_0$ — «голая» масса, $\delta m_{\mathrm{em}}$ — радиационная корректировка. Электромагнитный вклад присутствует, но он бесконечен до ренормализации и не даёт классической картины «массой целиком из поля».
- Источник массы элементарных фермионов в современной Стандартной модели связан с механизмом Хиггса (вещественная масса — параметр Лагранжиана после спонтанного нарушения симметрии); электромагнитные самоэнергии вносят поправки, но не являются единственным источником массы.
5) Итог (кратко)
- Классическая электромагнитная энергия поля действительно вносит вклад в инерционные свойства заряженных систем; для простых моделей этот вклад можно выразить через энергию поля, но требуется дополнение невозбуждающими, удерживающими напряжениями, чтобы обеспечить ковариантность и согласие с $E=m{c}^2$.
- Для реальных элементарных частиц понятие «электромагнитная масса» заменяется на квантово-полевую картину с ренормализацией; масса частицы — суммарный результат всех взаимодействий и механизмов (включая Хиггса), а электромагнитное поле даёт только часть поправки.
- Практически: для составных систем вклад электромагнитной энергии в массу измерим и соответствует эквивалентности массы и энергии; для точечного электрона классическая модель электромагнитной массы неполна и заменена современными теориями поля.