Коротко и по делу.
Пусть исходная одномерная конечная яма имеет собственные нерелятивистские состояния $\{{\psi }_n^{(0)}(x),E_n^{(0)}\}$. Добавляем слабое стационарное периодическое возмущение $V_1(x)=\epsilon f(x)$ (например $f(x)=\cos (kx)$, $|\epsilon |\ll |E_n^{(0)}|$).
1) Первый порядок (ненаружно вырожденные уровни)
- Сдвиг энергии в первом порядке:
$$\Delta E_n^{(1)}=⟨{\psi }_n^{(0)}|V_1|{\psi }_n^{(0)}⟩=\epsilon \int {\psi }_n^{(0)\ast }(x)f(x){\psi }_n^{(0)}(x)dx.$$ Если интеграл равен нулю из симметрии (например нечётная $f$ для чётного ${\psi }_n^{(0)}$), то этот член пропадает.
- Поправка к волновой функции (первый порядок):
$${\psi }_n^{(1)}(x)=\sum _{m\ne n}\frac{⟨{\psi }_m^{(0)}|V_1|{\psi }_n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}{\psi }_m^{(0)}(x).$$ То есть волновая функция смешивается с другими собственными состояниями с амплитудами $\sim \epsilon /(E_n^{(0)}-E_m^{(0)})$.
2) Второй порядок (если $\Delta E_n^{(1)}=0$ по симметрии)
$$\Delta E_n^{(2)}=\sum _{m\ne n}\frac{|⟨{\psi }_m^{(0)}|V_1|{\psi }_n^{(0)}⟩{|}^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}},$$ масштаб поправки $\propto {\epsilon }^2$.
3) Вырожденные или близко расположенные уровни (degenerate / near-degenerate)
- Если несколько состояний тесно расположены, нужно в их подпространстве диагонализовать матрицу:
$$V_{ij}=⟨{\psi }_i^{(0)}|V_1|{\psi }_j^{(0)}⟩.$$ Это даёт расщепления и избегаемые пересечения (уровни отталкиваются): новые энергии — собственные значения матрицы $E^{(0)}{\delta }_{ij}+V_{ij}$. Часто приводит к значительному смешению и изменению паритета/локализации.
4) Для специального $f(x)=\cos (kx)$ — селекционные правила
- Ненулевые матричные элементы связаны с совпадением пространственных гармоник: Fourier-компонента $k$ соединяет состояния с разностью характерных импульсов $\Delta p\approx \hslash k$.
- Чётная $\cos$ обычно связывает состояния одинаковой чётности; нечётная синус — противоположной.
5) Влияние туннелирования и уровней с «утечкой»
- В конечной яме волновые функции имеют экспоненциальные хвосты в барьере. Периодическое возмущение, меняя профиль барьера, может экспоненциально влиять на величины перекрытия и, следовательно, на тонкие сдвиги и расщепления (например туннельное расщепление близких состояний меняется пропорционально изменению перекрытия).
- Для квазипериодических/резонансных состояний (резидуальные уровни выше барьера) возмущение смещает положения резонансных пиков и может менять ширину (жизненный срок) — для малых изменений можно использовать метода возмущений для комплексной энергии или формулу Ферми для ширин.
6) При многократном периодическом повторении (решётка из ям)
- Малое периодическое возмущение, периодичное на масштабе многих ям, порождает переход к зонной структуре: дискретные уровни расщепляются в узкие полосы; ширина полосы определяется матричными элементами переразветвления (аналог тёпового приближения, переход к модели Кроннига-Пенни при сильной периодичности).
Краткий итог:
- Общая закономерность: при слабом периодическом возмущении энергоуровни смещаются в первом порядке на $\Delta E_n^{(1)}=⟨{\psi }_n^{(0)}|V_1|{\psi }_n^{(0)}⟩$ (если не зануляется симметрией), волновые функции получают смешивание по формуле для ${\psi }_n^{(1)}$. Если уровни близки — применяют вырожденную теорию возмущений и получают расщепления (избегающие пересечения). Туннельные эффекты усиливают чувствительность: небольшие изменения барьера могут давать экспоненциально большие изменения перекрытия и расщеплений.