Кратко и по сути — модель, основные уравнения, поведение в частотной области и оценка нагрева.
1) Геометрия и модель
- Две бесконечные параллельные проводящие пластины толщины $d$, проводимости $\sigma$, проницаемости $\mu$, расположены параллельно в плоскости $xy$, разнесение по $z$. На систему действует переменное однородное магнитное поле, например направленное по $z$: $B_z(t)=\Re \{B_0{e}^{i\omega t}\}$.
- Для частотного анализа принимаем гармоническую зависимость $e^{i\omega t}$.
2) Основные уравнения
- Закон Фарадея: $\nabla \times \mathbf{E}=-{\partial }_t\mathbf{B}=-i\omega \mathbf{B}$.
- Ома в объёме: $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$.
- Уравнение диффузии для поля в проводнике (лифшицев тип): ${\nabla }^2\mathbf{H}=i\omega \mu \sigma \mathbf{H}$.
3) Скин-эффект (характерная длина проникновения)
- Скин-глубина: $\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}$.
- При $d\gg \delta$ токи концентрируются в слое толщины $\sim \delta$ у поверхности; при $d\ll \delta$ ток распределён почти равномерно по толщине.
4) Распределение токов (одномерный случай, нормальное падение поля)
- Для плоской поверхности решение даёт экспоненциальное затухание комплексного поля: $H_t(z)=H_0{e}^{-(1+i)z/\delta }$ (сохранённая зависимость фаз и амплитуды).
- Тангенциальное электрическое поле у поверхности связано с тангенциальным магнитным через поверхностный импеданс: $Z_s=(1+i)\sqrt{\frac{\omega \mu }{2\sigma }}$, и $E_t=Z_s{H}_t$.
- Ток плотности по толщине: $\mathbf{J}(z)=\sigma \mathbf{E}(z)\propto e^{-(1+i)z/\delta }$.
5) Мощность потерь (нагрев)
- Плотность рассеяния (средняя по периоду): $p(\mathbf{r})=\frac{1}{2}\Re (\mathbf{J}\cdot {\mathbf{E}}^{\ast })=\frac{1}{2}\sigma |E{|}^2$.
- Для толстого слоя ($d\gg \delta$) потери на единицу площади (поверхностная плотность мощности):
$P_s=\frac{1}{2}\Re (Z_s)|H_t{|}^2=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega \mu }{2\sigma }}|H_t{|}^2$.
Подставляя $H_t=B_t/\mu$: $P_s=\frac{1}{2}\frac{|B_t{|}^2}{{\mu }^2}\sqrt{\frac{\omega \mu }{2\sigma }}$.
- Для тонкой пластины ($d\ll \delta$) ток равномерный по толщине и потери на единицу объёма $\sim \frac{1}{2}\sigma |E{|}^2$; суммарные потери на площади пропорциональны $d$ и растут примерно как ${\omega }^2$ при низких частотах (см. тренд ниже).
6) Частотная зависимость (какие масштабы и асимптотики)
- Низкие частоты ($\delta \gg d$): поле проникает через пластину, индуцированная эдди-ЭДС пропорциональна $\omega$, ток ограничен омическим сопротивлением толщи => амплитуда тока ~$\omega$, мощность ~${\omega }^2$.
- Промежуточная частота: индуктивное сопротивление пластины/петли возрастает, амплитуда тока начинает падать по сравнению с простой пропорциональностью $\omega$.
- Высокие частоты ($\delta \ll d$): токи ограничены поверхностным слоем, поверхностное сопротивление $\Re (Z_s)\propto \sqrt{\omega }$, поэтому потери на единицу площади растут пропорционально $\sqrt{\omega }$.
7) Взаимодействие двух пластин (proximity, экранирование)
- Если пластины расположены лицом к лицу и поле присутствует между ними, наведённые токи в соседних поверхностях взаимодействуют (proximity effect): при одинаковом направлении наведённые токи в ближних поверхностях создают дополнительные магнитные поля, что изменяет распределение тока (токи концентрируются на ближних или дальних поверхностях в зависимости от направления и знака).
- При малом зазоре суммарное магнитное поле между пластинами может существенно отличаться от внешнего (ослабление/усиление), и потери могут быть больше, чем для одной пластины, так как токи «толкаются» в тонкие слои.
- Если пластины замкнуты проводниками в кольцевые петли, возникает большая циркулирующая эдди-токовая компонента; если разрезать пластины (ламинатирование, прорези) — значительно уменьшить эдди-токи.
8) Практическое вычисление потерь (алгоритм)
- Оцените $\delta$.
- Если $d\ll \delta$: решите уравнение для индуцированного $E$ (или используйте модель петли) и вычислите $P={\int }_V\frac{1}{2}\sigma |E{|}^{2}dV$.
- Если $d\gg \delta$: используйте поверхностную формулу $P\approx P_s$ для каждой облучаемой поверхности, где $P_s=\frac{1}{2}\Re (Z_s)|H{|}^2$.
- Для точных решений в сложной геометрии решайте уравнение диффузии ${\nabla }^2\mathbf{H}=i\omega \mu \sigma \mathbf{H}$ численно (FEM).
9) Меры снижения нагрева
- Уменьшить индуцируемые замкнутые контуры: прорези/ламинаты.
- Увеличить электросопротивление (например повышением сопротивления металла или использованием ферритов/композитов).
- Разделение токопроводящих частей, экранирование магнитным материалом, снижение площади контуров, применение коаксиальной/симметричной конструкции.
Если нужно, могу дать конкретные численные формулы для заданных параметров ($\sigma ,\mu ,d,\omega ,B_0$) и/или пример численного расчёта потерь для одной пластины или для двух пластин с заданным зазором.