Кратко — как последовательно определять режимы резонанса, бифуркации и переход в хаос при изменении амплитуды и частоты внешней силы.
Модель (общая, включает нелинейность типа Даффинга):
$$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_n\dot{x}+{\omega }_n^{2}x+\alpha x^3=F\cos (\omega t),$$ где ${\omega }_n$ — собственная частота, $\zeta$ — демпфинг, $\alpha$ — коэффициент нелинейности, $F$ и $\omega$ — амплитуда и частота возбуждения.
1) Линейный резонанс (малые отклонения, $\alpha \approx 0$):
- амплитуда установившегося решения
$$A(\omega )=\frac{F}{\sqrt{({\omega }_n^2-{\omega }^2{)}^2+(2\zeta {\omega }_n\omega {)}^2}}.$$ - резонансный максимум около $\omega \approx {\omega }_n$ (смещается с учётом диссипации и нелинейностей). Q-factor $Q=1/(2\zeta )$.
2) Слабая нелинейность — явление «прыжка» и бифуркации седлового типа (ступенчатая амплитудно-частотная кривая):
- гармонический баланс (приближённо) даёт уравнение для амплитуды $A$:
$$[({\omega }_n^2+\frac{3\alpha }{4}{A}^2-{\omega }^2{)}^2+(2\zeta {\omega }_n\omega {)}^2]A^2=F^2.$$ - множественные решения $A(\omega )$ → бифуркация типа saddle-node (fold), ведёт к гистерезису и скачкообразным переходам при сканировании $\omega$ или $F$. Условия границы (место «прыжка») находятся из совместного решения уравнения и $\partial A/\partial \omega \to \infty$ (формально дискриминант = 0).
3) Переход к сложной динамике и хаосу:
- при росте $F$ (или при определённых комбинациях $\omega ,\alpha$) последовательность типичных сценариев: период-1 → период-2 → period-doubling cascade → хаос; или Neimark–Sacker (тор) → соскальзывание в модуляцию → хаос; возможна смешанная (квазипериодическая) дорога.
- для параметрически возбуждаемой системы (Mathieu-подобно)
$$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_n\dot{x}+{\omega }_n^2(1+h\cos \Omega t)x=0$$ появляются instability tongues (параметрический резонанс).
4) Диагностика и практическая методика (пошагово):
- нормировка/недименсионализация уравнения;
- выполнить частотный/амплитудный скан: для набора $\omega$ при фиксированном $F$ (и наоборот) численно интегрировать ОДУ длительное время, отбросить переходный слой;
- строить частотную характеристику: вернуть максимум/минимумы или значения Poincaré (стробировать решение в моменты $t_k=k\cdot 2\pi /\omega$);
- построить бифуркационную диаграмму: для каждого параметра откладывать Poincaré-точки или локальные максимумы $x_{\max }$;
- определять типы бифуркаций:
- saddle-node: внезапные скачки и гистерезис на амплитудно-частотной кривой;
- period-doubling: появление точек Poincaré с удвоенным периодом (последовательные удвоения → хаос);
- Neimark–Sacker: переход к торовому набору точек (квазипериодичность);
- оценивать хаос: положительный наибольший Ляпунов показатель ${\lambda }_{\max }>0$, широкополосный спектр в FFT, фрактальная Poincaré-секция, чувствительность к начальным условиям;
- вычисление Floquet-мультипликаторов для периодических орбит (полезно для определения потери устойчивости и типа бифуркации).
5) Инструменты и численные приёмы:
- интегратор с фиксированным/адаптивным шагом (RK4/RK45), достаточная длительность интеграции и отбрасывание переходного времени;
- вычисление Ляпунова по алгоритму Беннетина;
- пакеты для континуации и определения бифуркаций: AUTO, MatCont, Coco;
- при экспериментах: делать вверх/вниз сканы частоты для обнаружения гистерезиса, измерять спектр и Poincaré (стробирование синхронно с возбуждением).
6) Практические признаки:
- резонанс: глобальный максимум амплитуды возле $\omega \sim {\omega }_n$ (линейный случай);
- нелинейный резонанс/бистабильность: асимметрия пика, несколько устойчивых ответов при одной $\omega$, скачок при медленном сканировании;
- бифуркации: появление/исчезновение периодических орбит, смена устойчивости (отслеживается по Floquet);
- хаос: положительный ${\lambda }_{\max }$, нерегулярная Poincaré-секция, широкополосный спектр и период-дублящиеся последовательности в бифуркационной диаграмме.
Короткая сводка формул, упомянутых выше:
$$\ddot{x}+2\zeta {\omega }_n\dot{x}+{\omega }_n^{2}x+\alpha x^3=F\cos (\omega t),$$ $$A(\omega )=\frac{F}{\sqrt{({\omega }_n^2-{\omega }^2{)}^2+(2\zeta {\omega }_n\omega {)}^2}},$$ $$[({\omega }_n^2+\frac{3\alpha }{4}{A}^2-{\omega }^2{)}^2+(2\zeta {\omega }_n\omega {)}^2]A^2=F^2.$$
Если нужно — могу привести конкретную численную процедуру (код-псевдокод) для построения бифуркационной диаграммы и вычисления Ляпунова по шагам.