Кратко — физика и возможные режимы.
Физика: магнитное демпфирование при приближении даёт нелинейную, пространственно-зависимую диссипативную силу, которая действует только при малом относительном расстоянии/угловом расстройстве. Этот эффект похож на термин, пропорциональный скорости, но включающий функцию близости: например
$$\gamma (\Delta \theta )={\gamma }_{0}H(\delta -|\Delta \theta |),$$ где $\Delta \theta ={\theta }_1-{\theta }_2$, ${\gamma }_0$ — сила демпфирования, $\delta$ — радиус «действия», $H$ — ступенчатая функция. В малых углах уравнения можно записать (слагающе демпфирования только для маятника 1 при близости):
$$\begin{array}{rl}{\ddot{\theta }}_1+{\omega }_1^2{\theta }_1+k({\theta }_1-{\theta }_2)+\gamma (\Delta \theta ){\dot{\theta }}_1& =0,\\ {\ddot{\theta }}_2+{\omega }_2^2{\theta }_2+k({\theta }_2-{\theta }_1)& =0.\end{array}$$
Возможные формы движения и режимы передачи энергии (коротко с пояснениями):
- Консервативный обмен (биение): при очень слабом или нулевом демпфировании система ведёт себя как связанная нелинейная пара — периодическая или квазипериодическая передача энергии (биения) между модами.
- Усиленное затухание при прохождении (inelastic pass): если ${\gamma }_0$ велико, при каждом близком проходе первая компонента теряет энергию — энергия убывает ступенчато, в итоге оба маятника затухают до покоя.
- Диссипативная синхронизация (при умеренном ${\gamma }_0$): демпфирование при сближении может привести к захвату фазы и устойчивой синхронной колебательной связке (in‑phase или anti‑phase), когда относительное приближение происходит редко или стабильно, и потери компенсируются перераспределением энергии.
- Амплитудная смерть (amplitude death): для определённых параметров и частот взаимная диссипация убивает колебания обеих систем — переход в устойчивый покой.
- Ректфикация/односторонняя передача энергии: если демпфирование действует асимметрично (только у одного маятника), возможна эффективная «диодная» передача — энергия легко переходит в сторону демпфируемого тела, но обратно возвращается с большими потерями.
- Режимы с периодическими удароподобными потерями: при малом $\delta$ демпфирование действует кратковременно как «ударное» торможение — наблюдаются периодические скачки энергии, квазипериоды и модальные переходы.
- Хаос и транзиенты: из-за нелинейности и дискретного включения демпфирования возможны длинныеchaotic транзиенты, чувствительность к начальному условию, период‑удвоения и переходы между притягивающими режимами.
- Стабильные предельные циклы: при балансе ввода (если есть внешнее возбуждение) и магнитных потерях система может перейти в стационарный предельный цикл с постоянной амплитудой и фиксированной фазовой разностью.
Что определяет режим в практике: относительная сила ${\gamma }_0$, радиус действия $\delta$, невязка собственных частот ${\omega }_1-{\omega }_2$, жёсткость связи $k$ и начальные условия. Коротко: слабое демпфирование → почти консервативный обмен; умеренное → синхронизация или предельные циклы; сильное → быстрый спад энергии и «затухание при сближении».