Постановка задачи. Пусть квантовая частица (волновой пакет) инцидирует на одномерный потенциальный барьер, локализованный в области $x\in [a,b]$. Вопрос времени туннелирования: сколько «времени» частица проводит в барьере и сколько времени требуется для прохождения барьера (времени проникновения / traversal time)? В квантовой механике времени как оператора нет, поэтому существуют несколько определений времени, каждое даёт свою физическую интерпретацию и связано с тем, каким именно измерением/процедурой мы моделируем эксперимент.
Ключевые определения и их смысл
1) Время пребывания (dwell time).
- Определение: среднее время, которое частица «находится» в области барьера, независимо от того, будет ли она затем передана или отражена:
$${\tau }_D=\frac{{\int }_a^b⟨{\psi }^{†}(x,t)\psi (x,t)⟩dx}{j_{\mathrm{inc}}},$$ где $j_{\mathrm{inc}}$ — инцидентный поток (стационарная установка).
- Интерпретация: неуделённое время, пропорциональное суммарной вероятности обнаружения частицы в барьерной области; измеримо как средняя плотность вероятности в области, поделённая на поток.
2) Фазовое (групповое, Wigner) время задержки.
- Определение (для переданной волны с амплитудой $t(E)=|t|e^{i{\varphi }_T(E)}$):
$${\tau }_{\varphi }=\hslash \frac{d{\varphi }_T}{dE}.$$ Аналогично, для рассеяния используется матрица Wigner–Smith:
$$Q=-i\hslash S^{†}\frac{dS}{dE},$$ и задержка ${\tau }_W$ получается из соответствующих элементов/следа $Q$.
- Интерпретация: задержка максимума переданного пакета (групповая задержка). Часто используется как «время прохождения» для пиковых сигналов. Для широкой и малорассеивающейся волновой группы даёт смещение пика по времени.
3) Larmor‑часы (Larmor time).
- Идея: вложить в барьер слабое магнитное поле $B$ вдоль оси, поставить частицу со спином, и наблюдать прецессию спина в барьере. При малом поле прецессионный угол
$$\theta ={\omega }_L\tau ,{\omega }_L=\frac{g{\mu }_{B}B}{\hslash },$$ позволяет определить время $\tau =\theta /{\omega }_L$. Практически выделяют компоненты времени, связанные с продольной и поперечной ориентацией спина (иногда говорят о ${\tau }_{\parallel }$ и ${\tau }_{\perp }$).
- Интерпретация: даёт «операционное» время, измеряемое через внутреннюю степень свободы (спин). Может различать времена для трансмиссии и отражения при условии слабого поля.
4) Büttiker–Landauer, Pollak–Miller и другие определения (практические часы).
- Büttiker–Landauer: изучают отклик системы на слабую медленно меняющуюся вкладку потенциала (или на осциллирующий потенциал) — характерная частота, при которой появляются боковые энергетические пики, даёт времени шкалу взаимодействия с барьером.
- Pollak–Miller и др. — альтернативные «временные» оценки, часто связаны с откликом на внешние возмущения или с ближайшим классическим аналогом.
- Интерпретация: это «время реакции» барьера на внешние воздействия; близки по смыслу к временам, измеряемым в конкретных экспериментальных схемах.
5) Комплексные времена (пути Фейнмана, амплитудные оценки).
- В некоторых подходах промежуточные «времена» получаются комплексными; реальная часть иногда интерпретируется как физическое время, мнимая — как мера вероятностного затухания/фазовой деформации.
- Интерпретация: подчёркивает, что понятие «времени под барьером» не всегда может быть описано единственным реальным скалярным числом; результат зависит от выбранной процедуры измерения.
Связи между определениями и ограничивающие явления
- Dwell vs. phase: ${\tau }_D$ — усреднённое (независимое от исхода) время; ${\tau }_{\varphi }$ — условная задержка для переданного пика. В некоторых простых стационарных моделях для одноканального случая вводят разложение по исходам (трансмиссия/рефлексия):
$${\tau }_D\approx |T{|}^2{\tau }_T+|R{|}^2{\tau }_R$$ (где ${\tau }_T,{\tau }_R$ — условные времена для переданных и отражённых компонент), но точные соотношения зависят от интерференции и используемого определения.
- Эффект Хартмана: для плотных (opaque) барьеров фазовое время ${\tau }_{\varphi }$ может насыщаться при увеличении ширины барьера, что формально даёт очень большой (иногда «сверхсветовой») эффективный скоростной показатель $L/{\tau }_{\varphi }$. Это не означает перенос информации со скоростью >c — объяснение: перестройка формы пакета (reshaping), фильтрация хвоста волнового пакета и особенность определения групповой задержки. Касуальность сигналов не нарушается.
Практическая и концептуальная интерпретация
- Нет единственно правильного «времени туннелирования». Какое число считать «временем» зависит от того, что вы измеряете: временной сдвиг пика (${\tau }_{\varphi }$), среднюю вероятность нахождения в области (${\tau }_D$), вращение спина (${\tau }_{\mathrm{Larmor}}$), отклик на осциллирующий потенциал и т.д.
- Эксперименты (включая современные атосекундные измерения) обычно интерпретируют результаты в терминах конкретной схемы измерения; разные схемы дают разные численные значения.
- Физически наиболее безопасно: использовать dwell‑time для «сколько вероятностно частица находится в барьере», phase‑time для «насколько сдвигается максимум пакета», Larmor‑clock как операционную процедуру для «времени, измеренного внутренним часом (спином)».
Краткие рекомендации
- Если интересует среднее присутствие частицы в барьере — используйте ${\tau }_D$.
- Если интересует задержку пиков/групп — используйте ${\tau }_{\varphi }=\hslash d{\varphi }_T/dE$.
- Если хотите смоделировать конкретный измерительный протокол — применяйте Larmor‑час или анализ отклика на осциллирующий потенциал (Büttiker–Landauer).
- При интерпретации аккуратно относитесь к эффекту Хартмана и к тому, что «время» зависит от процедуры измерения.
Если нужно, могу привести выводы этих величин для конкретной модели (например, прямоугольный барьер) и показать их поведение при разных энергиях и ширинах барьера.