Для определения скорости ракеты на высоте 100 км от Земли воспользуемся уравнением движения ракеты:

v = ∫ a dt = β ∫ t^2 dt = β * $t^3/3$ + C,

где v - скорость ракеты, a - ускорение ракеты, t - время, β - постоянная ракеты, C - постоянная интегрирования.

Для определения постоянной С воспользуемся начальными условиями, когда ракета стартует с Земли со скоростью 0, то есть v$0$ = 0:

0 = β * $0/3$ + C,
C = 0.

Теперь найдем скорость ракеты на высоте 100 км $100км=100000м$ от Земли, подставив t = 100 000 м в выражение для скорости:

v = β $100000^3/3$ = 1 $1\ast 10^{1}2/3$ = 333333333,33 м/c.

Итак, скорость ракеты на высоте 100 км от Земли в момент выхода из строя двигателей равна 333333333,33 м/c.