Пусть общее расстояние, которое нужно пройти катеру, равно D км. Тогда две трети времени движения катера с скоростью 10 км/ч составляют D*(2/3)/10 = 2D/30 ч.

Средняя скорость движения катера равна общему расстоянию, поделенному на общее время движения:
Vср = D / (2D/30 + D/x), где x - скорость движения катера на оставшейся части пути.

Условие задачи: Vср = 20 км/ч

Подставляем Vср и раскрываем скобки:
20 = D / (2D/30 + D/x)
20 = 30 / (2/30 + 1/x) (1)

Теперь решим уравнение (1). Умножим обе части уравнения на 30x получим:
600x = 30x + 900

Упростим:
569x = 900

x = 900 / 569 ≈ 1.58 км/ч

Ответ: катер должен пройти оставшуюся часть пути со скоростью около 1.58 км/ч.