Для доказательства данного утверждения, рассмотрим следующее:

Запишем условие данное в задаче: a + b перпендикулярен a - b. Для векторов a и b выполняется следующее выдление: a*b = 0.

Теперь распишем векторное произведение:

$a+b$ * $a-b$ = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2

Так как векторы a + b и a - b перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. Поэтому выражение a^2 - b^2 = 0, что приводит к равенству модулей векторов a и b: a = b.

Пример таких векторов можно привести следующий: пусть a = $1,1$ и b = $-1,1$. Тогда a + b = $0,2$ и a - b = $2,0$. Проверим их взаимное перпендикулярное положение:

$0,2$ $2,0$ = 0 2 + 2 * 0 = 0

Так как скалярное произведение равно 0, то вектора a + b и a - b перпендикулярны, и модули векторов a и b равны друг другу: a = b = sqrt$2$.