Для того чтобы сила взаимодействия осталась прежней после разведения шариков на расстояние x, необходимо, чтобы величина заряда у одного из шариков изменилась на величину, равную величине заряда другого шарика.

Из условия задачи следует, что один шарик имеет заряд q, а другой - 9q. Пусть после разведения расстояние между шариками станет r + x.

Так как сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами, то:

F = k (q 9q) / (r + x)^2,

где F - сила взаимодействия после разведения, k - постоянная Кулона.

После разведения заряды на шариках будут изменены, один из них станет иметь заряд q + Δq, а другой - 9q - Δq, где Δq - изменение заряда.

Тогда сила взаимодействия после разведения равна:

F = k (q + Δq) (9q - Δq) / (r + x)^2.

Таким образом, выражаем F через изначальные значения зарядов и расстояния r:

F = k (q 9q) / (r + x)^2,

k (q 9q) / (r + x)^2 = k (q + Δq) (9q - Δq) / (r + x)^2.

Отбросим постоянные множители k и рассмотрим уравнение:

q 9q = (q + Δq) (9q - Δq),

9q^2 = 9q^2 - qΔq + 9qΔq - Δq^2.

Отсюда получаем:

-qΔq + 9qΔq = 0,

8qΔq = 0,

Δq = 0.

Таким образом, изменение заряда по модулю равно нулю, и значит, заряды не изменились. Следовательно, для того чтобы сила взаимодействия осталась прежней, достаточно развести шарики на любое расстояние.