Для начала, найдем работу силы трения, которая препятствует движению груза вверх по наклонной плоскости. Работа этой силы равна произведению модуля силы трения на перемещение груза, а также на косинус угла наклона плоскости:

(A{\text{тр}} = F{\text{тр}} \cdot s \cdot \cos(\alpha)),

где:
(A{\text{тр}}) - работа силы трения,
(F{\text{тр}}) - сила трения,
(s) - перемещение груза,
(\alpha) - угол наклона плоскости.

Из условия задачи известно, что масса груза (m = 2 \, \text{кг}) и сила, действующая на груз вверх, равна (F = 20 \, \text{Н}). Также известно, что коэффициент полезного действия (k = 50\%), что равно (0.5).

Известно, что работу силы трения можно выразить через силу трения, умноженную на сдвиг. Сила трения равна произведению силы (F) на (k), следовательно (F_{\text{тр}} = F \cdot k). После подстановки, получаем:

(A{\text{тр}} = F{\text{тр}} \cdot s \cdot \cos(\alpha) = F \cdot k \cdot s \cdot \cos(\alpha)).

Известно, что работа (A) равна произведению силы на смещение вдоль пути, поэтому её тоже можно записать в виде (A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)).

Работа (A) силы (F) равна изменению кинетической энергии груза, следовательно (A = \Delta E{\text{к}}). Поскольку начальная кинетическая энергия равна нулю, то (\Delta E{\text{к}} = E{\text{к}} - E{\text{0к}} = m \cdot g \cdot h), где (h = 1 \, \text{м}) - высота наклонной плоскости.

Таким образом, мы можем записать выражение:

(F \cdot s \cdot \cos(\alpha) = m \cdot g \cdot h).

После подстановки данных в уравнение и разрешения его относительно переменной (s), получаем:

(s = \frac{m \cdot g \cdot h}{F \cdot \cos(\alpha)}),

(s = \frac{2 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1 \, \text{м}}{20 \, \text{Н} \cdot \cos(\alpha)}),

(s = \frac{19.6}{20 \cdot \cos(\alpha)}).

Теперь найдем длину наклонной плоскости. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где одна из сторон равна высоте (h), а гипотенуза равна длине плоскости (L), имеем:

(L^2 = h^2 + s^2),

(L = \sqrt{h^2 + s^2}).

После подстановки уже найденных значений для (h) и (s), получаем:

(L = \sqrt{1^2 + \left(\frac{19.6}{20 \cdot \cos(\alpha)}\right)^2}),

(L = \sqrt{1 + \frac{19.6^2}{(20 \cdot \cos(\alpha))^2}}).

Итак, длина плоскости наклонной будет равна выражению (\sqrt{1 + \frac{19.6^2}{(20 \cdot \cos(\alpha))^2}}).