Для того чтобы найти минимальный коэффициент трения k_min, при котором тело не сдвинется с места во время вращения, мы должны учесть центробежную силу, действующую на тело.

Центробежная сила F ц центробежная = mR~ω^2,

где m - масса тела, R - радиус сферы, ~ω - угловая скорость вращения.

С учетом силы тяжести F т = mg и трения F тр = kN, где N - нормальная реакция опоры, имеем уравнение равновесия по направлению вдоль нормали к поверхности сферы:

k N = m g + m R ω^2.

Нормальная реакция N может быть найдена из баланса сил в направлении, перпендикулярном поверхности сферы:

N = m g cos(α).

Подставляем это значение обратно в наше уравнение:

k m g cos(α) = m g + m R ω^2.
k = (1 + R ω^2 / g) / cos(α).

Минимальное значение коэффициента трения будет соответствовать случаю, когда тело на грани сдвига, то есть ни одновременно и косинус, и дробь не могут быть меньше единицы:

k_min = 1 + R ω^2 / g.