Пусть V - объем шара, ρ - его плотность, g - ускорение свободного падения.

Когда шар окажется погруженным на половину, сила Архимеда, действующая на него, будет равна силе, которую нужно приложить, чтобы его удержать на этой глубине:
F = V ρ g / 2
Решая это уравнение относительно V * ρ, получаем:
V ρ = 2F / g

Когда шар будет полностью погружен, сила Архимеда будет равна его весу:
5F = V ρ g
Решая это уравнение относительно V * ρ, получаем:
V ρ = 5F / g

Таким образом, имеем систему уравнений:
V ρ = 2F / g
V ρ = 5F / g

Отсюда V = 10F / g, и ρ = 5 * g / 10 = 0.5g.

Так как плотность шара равна ρ = m / V, где m - его масса, а V - объем, можем также записать ρ = m / (4/3 π r^3), где r - радиус шара. Так как g = 9.8 м/с^2, имеем ρ = 0.5 * 9.8 = 4.9 г/см^3 = 4900 кг/м^3.

Итак, плотность шара равна 4900 кг/м3.