Для начала рассмотрим закон сохранения энергии в системе "пружина-маятник". Обозначим начальную потенциальную энергию системы как U(0), начальную кинетическую энергию как К(0), а потенциальную и кинетическую энергии в произвольный момент времени t как U(t) и К(t) соответственно.

Так как система закрытая, то потенциальная энергия пружины и кинетическая энергия маятника будут переходить друг в друга без потерь, следовательно, U(0) + К(0) = U(t) + К(t).

Кинетическая энергия маятника выражается как K = (1/2)mv^2, где m - масса маятника, v - скорость маятника.

Получаем, что K(0) + U(0) = K(t) + U(t).
(1/2)mv(0)^2 + mgh(0) = (1/2)mv(t)^2 + mgh(t),
где h - высота опускания маятника, g - ускорение свободного падения.

Дифференцируем это выражение по времени, получаем:
mv(0) a(0) = mv(t) a(t),
где a - ускорение маятника.

Так как v(0) = 0 (момент покоя) и v(t) равно максимальной скорости v_max в нижней точке траектории, где ускорение a(t) равно ускорению свободного падения g, то a(t) = g.

Таким образом, a(0) = g, что и означает постоянное ускорение движения маятника Максвелла.