Для решения данной задачи воспользуемся законом Бойля-Мариотта для идеального газа:
(P_1V_1 = P_2V_2),

где (P_1) и (V_1) - начальное давление и объем газа, (P_2) и (V_2) - конечное давление и объем газа.

Из условия задачи известно, что изотермическое сжатие происходит при постоянной температуре, следовательно, начальное и конечное давление связаны соотношением:
(\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_1}{V_2}).

Учитывая, что давление возросло на 10%, то:
(\frac{P_2}{P_1} = 1.1).

Из условия задачи также известно, что объем уменьшился на 0.5 литра:
(V_2 = V_1 - 0.5).

Теперь объединим все уравнения и найдем начальный объем:
(\frac{1.1P_1}{P_1} = \frac{V_1}{V_1 - 0.5}),
(1.1 = \frac{V_1}{V_1 - 0.5}),
(1.1(V_1 - 0.5) = V_1),
(1.1V_1 - 0.55 = V_1),
(0.1V_1 = 0.55),
(V_1 = \frac{0.55}{0.1} = 5.5) литров.

Итак, начальный объем газа составляет 5.5 литра.