Кратко о роли проекций: проекция — это способ переноса поверхности шара на плоскость; каждая проекция сохраняет какие‑то свойства (углы, площади, расстояния от центра и т.д.) и неизбежно искажает другие. Выбор проекции формирует визуальное восприятие мира (размеры стран, относительную важность регионов, «центр» карты) и потому влияет на политические/культурные представления.
1) Меркатор (навигационная, цилиндрическая, конформная)
- Формула (радиус единичной сферы, долготa $\lambda$, широта $\phi$):
$$x=\lambda ,y=\ln \tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\phi }{2}\right).$$ - Свойства: сохраняет углы и локальные формы (конформна).
- Искажения: масштаб вдоль обоих направлений равен $k(\phi )=\sec \phi =\frac{1}{\cos \phi }$, поэтому площадь искажается как $k^2(\phi )={\sec }^2\phi$ — экспоненциальный рост искажения к полюсам. Визуально: высокие широты сильно увеличены (Гренландия/Россия кажутся непропорционально большими).
- Влияние восприятия: подчёркивает северные/евразийские территории, исторически способствовал евроцентричным представлениям.
2) Питерса (Gall–Peters, цилиндрическая равновеликая)
- Общая формула цилиндрической равновеликой с одной неизменной широтой ${\phi }_0$:
$$x=\lambda \cos {\phi }_0,y=\frac{\sin \phi }{\cos {\phi }_0}.$$ Для Gall–Peters берут ${\phi }_0=45^{\circ }$ ( $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ), тогда
$$x=\frac{\lambda \sqrt{2}}{2},y=\sqrt{2}\sin \phi$$ (варианты масштабирования возможны).
- Свойства: сохраняет площади (равновеликая проекция).
- Искажения: форма сильно меняется — продольные/широтные масштабы взаимно компенсируют друг друга (их произведение = 1), поэтому континенты вытягиваются в экваториальной зоне и «сжимаются» к полюсам; формы не конформны.
- Влияние восприятия: корректирует представление о реальных размерах государств (например, африканские страны кажутся значительно крупнее), но может создавать «искажённый» вид контуров, что порождало дискуссии о пригодности.
3) Азимутальные (класс проекций, центр — точка)
- Общее свойство: сохраняют направления (азимуты) от выбранного центра; искажения радиальны — минимальны в центре, нарастают к краям. Разные виды азимутальных проекций сохраняют разные свойства:
- Центральный угол между точками:
$$\Delta \sigma =\arccos (\sin {\phi }_0\sin \phi +\cos {\phi }_0\cos \phi \cos \Delta \lambda ),$$ где ${\phi }_0,{\lambda }_0$ — координаты центра, $\Delta \lambda =\lambda -{\lambda }_0$.
- Азимутальная равноотстоящая:
$$\rho =R\Delta \sigma$$ — расстояние до центра пропорционально центральному углу; полезна для отображения расстояний от центра.
- Стереографическая (азимутальная конформная):
$$\rho =2R\tan \left(\frac{\Delta \sigma }{2}\right)$$ — сохраняет местные формы, но сильно увеличивает площади вдали от центра.
- Ламбертова азимутальная равновеликая:
$$\rho =2R\sin \left(\frac{\Delta \sigma }{2}\right)$$ — сохраняет площади, искажения формы возрастают с расстоянием от центра.
- Искажения: зависят от типа; всегда радиальные (центр — минимальные искажения). Азимутальные удобны для карт, где важна «центральная» перспектива (полюсная карта, карта с центром в геополитически важном пункте) и для построения кратчайших маршрутов от центра.
Сравнение и практические выводы
- Меркатор: хорош для навигации и местных углов; плох для честного восприятия площадей — делает северные страны «визуально доминантными».
- Питерса: честен по площадям (социально/политически «честная» визуализация размеров), но искажает формы; подходит для карт, где важен реальный вес территорий.
- Азимутальная: гибкая — можно выбрать вариант для сохранения расстояний от центра, площадей или форм; задаёт «центристскую» перспективу (идеальна для карт с полюсами или для отображения связности от выбранной точки).
Итого: выбор проекции — всегда компромисс. Понимание того, какие свойства сохраняет каждая проекция (углы, площади, расстояния от центра), позволяет преднамеренно формировать корректное или желаемое визуальное представление мира.