Пусть основание равнобедренного треугольника равно 2x, а оставшиеся две стороны равны y.
Так как биссектриса угла при основании делит боковую сторону в отношении 6:5, то:
2x = 6k, y = 5k, где k - коэффициент пропорциональности.

Так как высота, проведенная к основанию, равна 24 см, то по теореме Пифагора:
y^2 = k^2 * $2x$^2 - 24^2.

Из условия задачи можно выразить k через x:
k = 2x / 6 = x / 3.

Подставим это в уравнение для y:
y^2 = $x/3$^2 $2x$^2 - 24^2,
y^2 = x^2/9 4x^2 - 24^2,
y^2 = 4x^4 / 9 - 24^2.

Так как треугольник равнобедренный, то у него две равные стороны, поэтому:
2x + y = 2y.

Подставим выражение для y и найдем x:
2x + 5k = 2 * 5k,
2x + 5x/3 = 10x/3,
6x + 5x = 10x,
x = 24.

Теперь найдем значение y:
y = 5k = 5 * 24 / 3 = 40.

Периметр равнобедренного треугольника равен:
2x + 2y = 2 24 + 2 40 = 48 + 80 = 128 см.