Для нахождения центра окружности описанной около треугольника, нам необходимо определить координаты точки пересечения биссектрис треугольника. Поскольку углы треугольника относятся как 5:1:3, то мы знаем, что биссектриса угла между наибольшим и наименьшим углом будет проходить через центр описанной окружности.

Пусть вершины треугольника имеют координаты A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃).

Из условия задачи у нас есть углы треугольника, которые можно обозначить как A, B и C, их сумма равна 180 градусов.

Таким образом, угол A = 5x, угол B = x и угол C = 3x.

Из геометрических свойств треугольника, мы знаем, что центр вписанной в угол окружности треугольника является точкой пересечения его биссектрис.

Найдем координаты точки пересечения биссектрис с помощью уравнений биссектрис:

Для угла B (которому соответствует биссектриса AD)Для угла С (которому соответствует биссектриса BE)Для угла А (которому соответствует биссектриса CF)

После нахождения уравнений биссектрис и их точек пересечения мы сможем найти координаты центра окружности, описанной вокруг треугольника.