Для начала найдем высоту треугольника, проведем биссектрису угла при основании. Так как треугольник равнобедренный, биссектриса будет также являться медианой и высотой. Разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника, используя биссектрису в качестве высоты.

В результате получим два равнобедренных треугольника высотой h и катетами a и b:

(a + b = 12)

Так как треугольники равнобедренные, катеты будут равны половине основания:

(a = b = \frac{8}{2} = 4)

Тогда

(4 + 4 = 12)

(h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2 = 4^2 - 2^2 = 12)

(h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3})

Теперь найдем длину отрезка, который соединяет точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника. Пусть точки пересечения биссектрис с основанием треугольника обозначим как D и E.

Так как D и E делят сторону основания пополам, то DE = 4 см. Проведем линию от D перпендикулярно стороне BC и обозначим точку пересечения этой линии с стороной BC как F.

Треугольник BDF будет подобен треугольнику BCE (по признаку углов). Так как DE делит основание пополам, то это значит, что отрезок DF также равен 4 см.

Итак, длина отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника, равна 4 см.