Для нахождения высот треугольника с известными сторонами можно воспользоваться формулой Герона для вычисления площади треугольника:

S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c)),

где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

В данном случае a = 6 см, b = 9 см, c = 12 см.

Сначала найдем полупериметр треугольника:
p = (6 + 9 + 12) / 2 = 27 / 2 = 13.5 см.

Затем найдем площадь треугольника:
S = sqrt(13.5 (13.5 - 6) (13.5 - 9) (13.5 - 12)) = sqrt(13.5 7.5 4.5 1.5) = sqrt(4556.25) ≈ 67.5 кв. см.

Площадь треугольника можно также вычислить через формулу Герона:

S = a * h_a / 2,

где h_a - высота, проведенная к стороне a.

Теперь найдем высоту, проведенную к стороне 6 см (a):
67.5 = 6 h_a / 2,
67.5 = 3 h_a,
h_a = 67.5 / 3 = 22.5 см.

Таким образом, высота, проведенная к стороне 6 см, равна 22.5 см.