Пусть радиус вписанной окружности равен r, а длины отрезков, которые отсекают касательные, равны a, b и c.

Так как каждый из треугольников, отсеченных касательными, является прямоугольным, то можем записать:

a + b = 2r
a + c = 2r
b + c = 2r

Суммируем все три уравнения и найдем r:

2(a + b + c) = 6r
a + b + c = 3r

Так как сумма площадей прямоугольных треугольников равна 10, то:

S1 + S2 + S3 = 10
(ab / 2) + (ac / 2) + (bc / 2) = 10
ab + ac + bc = 20

С учетом того, что a + b + c = 3r, можем переписать это уравнение:

(ab + ac + bc) + 2r(a + b + c) = 20
20 + 2r * 3r = 20
6r^2 = 10
r = sqrt(10 / 6) = sqrt(5 / 3)

Теперь найдем периметр треугольника. Поскольку внутренний радиус окружности есть высота треугольника, периметр треугольника можно найти по формуле:

P = 2r(a + b + c) = 2sqrt(5/3) 3 sqrt(5/3) = 6 * 5/3 = 10

Ответ: периметр треугольника равен 10.