Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, проведены биссектрисы AD и A1D1, DS = D1C1, ∠C = ∠C1, ∠ADS = ∠A1D1C1.

Доказательство:

По условию ∠ADS = ∠A1D1C1. Также, биссектрисы AD и A1D1 пересекаются в точке D. Значит, углы ADS и A1D1C1 равны, так как это углы, образованные пересекающимися биссектрисами и одной из сторон. Таким образом, ∠ADS = ∠A1D1C1.

Так как DS = D1C1, а ∠ADS = ∠A1D1C1, то по теореме о равных углах и равных сторонах получаем, что треугольники ∆ADS и ∆A1D1C1 подобны.

Значит, соответственные стороны треугольников также равны: AS/A1B1 = DS/D1C1 = CS/C1B1.

Так как ∠C = ∠C1 и ∠A = ∠A1 (по построению биссектрис), то треугольники ∆ABC и ∆A1B1C1 подобны по углам (по трём углам).

Из пункта 3 знаем, что соответственные стороны равны: AS/A1B1 = DS/D1C1 = CS/C1B1.

Таким образом, ∆ABC и ∆A1B1C1 равны.

Таким образом, ∆ABC = ∆A1B1C1.