а) Поскольку диагональ делит трапецию на два подобных треугольника, то отношение сторон этих треугольников будет равно.

Пусть AB = a, CD = b, AD = c, BC = d, AC = x. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABC и ACX имеем:

AB^2 + BC^2 = AC^2
a^2 + d^2 = x^2

CD^2 + AD^2 = AC^2
b^2 + c^2 = x^2

Так как треугольник ABC подобен треугольнику ACD, то:

a/b = c/d

Отсюда:
a = (c/b) d = (c/b) b = c

Таким образом, AC^2 = a^2 + b^2 = a + a = 2a
AC = sqrt(2a)
AC^2 = 2a

б) Если основания трапеции равны 4 см и 9 см, то a = 4 см, b = 9 см. Подставляем в формулу для AC^2:

AC^2 = 2a
AC^2 = 2 4
AC^2 = 8
AC = sqrt(8) ≈ 2.83 см

Итак, длина диагонали AC трапеции равна примерно 2.83 см.