Пусть радиус вписанной окружности равен r, а сторона треугольника равна a.

Так как биссектриса равнастороннего треугольника является высотой, то она делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Поэтому вершина равностороннего треугольника, точка касания окружности и центр окружности образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике вертикальный катет равен r, горизонтальный катет равен a/2, а гипотенуза (высота) равна 12 см.

Применим теорему Пифагора: (a/2)^2 + r^2 = 12^2
Учитывая, что сторона равностороннего треугольника a равна 2r, получаем:
(2r/2)^2 + r^2 = 12^2
r^2 + r^2 = 144
2r^2 = 144
r^2 = 72

Итак, радиус вписанной окружности равен √72 = 6√2 см.

Аналогичная задача:
Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если длина биссектрисы равна 10 см.