Для доказательства подобия треугольников MNO и M1N1O нужно показать, что их углы соответственно равны.

Из условия задачи мы знаем, что точка O является пересечением высот MM1 и NN1 треугольника MNP. Значит, углы MON и M1N1O равны, так как они являются вертикальными углами.

Теперь обратим внимание на углы M и M1 треугольников MNO и M1N1O. Угол MON является прямым, так как это угол между стороной MN (гипотенузой прямоугольного треугольника MNP) и одной из его высот MM1. Угол M1N1O также является прямым, так как это угол между стороной M1N1 (гипотенузой другого прямоугольного треугольника M1N1O) и одной из его высот NN1.

Таким образом, углы M и M1 также равны друг другу.

Итак, мы установили, что углы MO1N1, MON и M1N1O равны друг другу, и углы M и M1 равны друг другу. Следовательно, треугольники MNO и M1N1O подобны по двум углам и углу между ними (углу O).