Для начала найдем длину образующей (AA_1) с помощью теоремы Пифагора:

(AA_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80})

Длина стороны равнобедренного треугольника (ACC_1) равна радиусу основания цилиндра, то есть 4 м. Таким образом, треугольник (ACC_1) - прямоугольный треугольник. Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны (AC_1) треугольника (ACC_1):

(AC_1 = \sqrt{AC^2 - CC_1^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48})

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника (ABCD), который является трапецией. Для этого вычислим длины его двух оснований (AB) и (CD), используя найденные ранее значения:

(AB = AC_1 = \sqrt{48})

(CD = 2 \cdot CC_1 = 2 \cdot 4 = 8)

Высота трапеции равна радиусу основания цилиндра, то есть 4 м.

Теперь вычислим площадь трапеции по формуле:

(S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{48} + 8}{2} \cdot 4)

(S = \frac{8\sqrt{3} + 8}{2} \cdot 4)

(S = 4(2\sqrt{3} + 2))

(S = 8\sqrt{3} + 8) кв. м

Ответ: Площадь четырехугольника ABCD равна (8\sqrt{3} + 8) квадратных метров.