Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательных: касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Пусть NO = х. Тогда, так как угол МNO = 30°, то треугольник MON является равносторонним. Значит, MO = NO = x.

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике MON:
MO^2 + MN^2 = NO^2,
x^2 + 5^2 = x^2,
25 = x^2,
x = 5 см.

Таким образом, NO = 5 см.

Докажем, что отрезок MK является касательной к окружности с центром в точке N и радиусом 6 см.

По условию имеем треугольник MNK, где MK = 8 см, NK = 10 см, и радиус окружности равен 6 см.

Докажем теорему о касательных: касательная к окружности, проведенная из точки касания, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Так как в треугольнике MNK угол М равен 90 градусов (так как окружность – полукруг), то MK будет перпендикулярен к MN.

Таким образом, отрезок MK является касательной к окружности с центром в точке N и радиусом 6 см.