Обозначим большее основание трапеции за (a), меньшее основание за (b).
По условию задачи, точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них в отношении 2:3. Пусть диагональ, которая делится в таком отношении, равна (d). Тогда (DO:OE = 2:3), где (DO) и (OE) - отрезки диагонали, которую мы ищем.
Так как точка пересечения диагоналей трапеции является центром тяжести, то (OD = \frac{2}{3}OE).
По теореме Пифагора в треугольнике ODE:
(\frac{3b}{4})^2 + h^2 = (\frac{5b}{4})^2,
\frac{9b^2}{16} + h^2 = \frac{25b^2}{16},
h^2 = \frac{25 - 9}{16}b^2,
h^2 = \frac{16}{16}b^2,
h = \frac{b}{4}\sqrt{7}.
Длина средней линии равна полусумме оснований трапеции:
15 = \frac{a + b}{2},
a + b = 30,
b = 30 - a.
Подставим (b = 30 - a) в (h = \frac{b}{4}\sqrt{7}):
h = \frac{30 - a}{4}\sqrt{7},
\frac{30 - a}{4}\sqrt{7} = \frac{a}{4}\sqrt{7}.
\sqrt{7}(30 - a) = a,
7(900 - 60a + a^2) = a^2,
6300 - 420a + 7a^2 = a^2,
6a^2 - 420a + 6300 = 0,
a^2 - 70a + 1050 = 0,
a{1,2} = \frac{70 \pm \sqrt{70^2 - 4*1050}}{2},
a{1,2} = \frac{70 \pm \sqrt{4900 - 4200}}{2},
a{1,2} = \frac{70 \pm \sqrt{700}}{2}.
Так как (a) - длина основания, а (b = 30 - a), то (a < 30), тогда
a{1,2} = \frac{70 \pm 10\sqrt{7}}{2},
a = 35 \pm 5\sqrt{7},
a = 35 + 5\sqrt{7} см.
Таким образом, наибольшее основание трапеции равно (35 + 5\sqrt{7}) см.