а) Вектор AB:
AB = B - A = (-2 - 0; 2 - 6) = (-2; -4)
Вектор CD:
CD = D - C = (8 - 6; 4 - 0) = (2; 4)

б) Длина вектора BC:
|BC| = √((6 - (-2))^2 + (0 - 2)^2) = √(8^2 + 2^2) = √(68) = 2√17

в) Координаты точки M – середины AB:
M = ((0 - 2)/2; (6 + 2)/2) = (-1; 4)
Координаты точки N – середины CD:
N = ((6 + 8)/2; (0 + 4)/2) = (7; 2)

г) Вектор MN:
MN = N - M = (7 - (-1); 2 - 4) = (8; -2)
Вектор AD:
AD = D - A = (8 - 0; 4 - 6) = (8; -2)

д) Уравнение окружности с диаметром BC:
Для уравнения окружности с диаметром BC, определим координаты центра окружности как середина отрезка BC:
x = (6 + (-2)) / 2 = 2
y = (0 + 2) / 2 = 1
Радиус окружности равен половине длины BC, то есть равен √17.
Таким образом, уравнение окружности: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 17

е) Уравнение прямой BD:
Найдем уравнение прямой проходящей через точки B и D (коэффициент наклона прямой k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 2) / (8 - (-2)) = 2/10 = 1/5):
y - y1 = k(x - x1)
y - 2 = (1/5)(x + 2)
5y - 10 = x + 2
5y = x + 12
x - 5y + 12 = 0

Таким образом, уравнение прямой BD: x - 5y + 12 = 0