Для нахождения периметра прямоугольного треугольника, в котором известны значения катета и проекции на гипотенузу, нам необходимо воспользоваться формулой Пифагора:

(c^2 = a^2 + b^2),

где:
(c) - гипотенуза,
(a) и (b) - катеты.

Из условия задачи мы знаем, что один катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см. Таким образом, мы можем записать:

(a = 15),
(b = 9).

Теперь найдем гипотенузу треугольника:

(c^2 = 15^2 + 9^2),
(c^2 = 225 + 81),
(c^2 = 306),
(c = \sqrt{306}),
(c ≈ 17,49).

Теперь можем найти периметр треугольника, сложив все его стороны:

Периметр (P = a + b + c = 15 + 9 + 17,49 = 41,49).

Периметр прямоугольного треугольника равен приблизительно 41,49 см.