Для доказательства того, что треугольник АВС является прямоугольным, нужно проверить, удовлетворяет ли он условию теоремы Пифагора.
Для этого найдем длины сторон треугольника:
AB = √((3-0)^2 + (5-0)^2) = √(9 + 25) = √34
AC = √((4-0)^2 + (1-0)^2) = √(16 + 1) = √17
BC = √((4-3)^2 + (1-5)^2) = √(1 + 16) = √17

Теперь подставим найденные длины сторон в теорему Пифагора:
AB^2 = AC^2 + BC^2
34 = 17 + 17

Так как полученное утверждение верно, треугольник АВС является прямоугольным.

Уравнение окружности с диаметром, который является отрезком АВ, имеет вид:
Уравнение окружности с центром в точке (x0, y0) и радиусом R записывается в виде (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2.
Так как диаметр данной окружности - это отрезок АВ, который проходит через точки А(0;0) и В(3;5), то центр окружности будет находиться посередине отрезка АВ.

Координаты центра окружности можно рассчитать как среднее арифметическое координат точек А и В:
x0 = (0 + 3) / 2 = 1.5
y0 = (0 + 5) / 2 = 2.5

Радиус окружности равен половине длины отрезка АВ:
R = √((3-0)^2 + (5-0)^2) / 2 = √34 / 2

Таким образом, уравнение окружности с диаметром, который является отрезком АВ, будет иметь вид:
(x - 1.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 17