Из условия задачи мы знаем, что периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника МВN равен 30 см. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, поэтому можем написать уравнения:

AB + AC + BC = 40 (1)
MN + MV + NV = 30 (2)

Так как прямая, проходящая через точку О, параллельна стороне AC треугольника АВС, то из подобия треугольников мы можем сказать, что отношение длин сторон треугольников АВС и МВN равно отношению длин сторон ВС и VN. То есть:

AB/МN = BC/VN

Или:

AB/BC = MN/VN

Теперь рассмотрим треугольники АВС и МВN в отдельности. В треугольнике АВС угол AОС равен углу BOС, так как лучи АО и СО являются биссектрисами. Значит, треугольники АВО и ВОС подобны по двум углам. А значит, отрезок AC делится пополам точкой О. То есть, AC = 2*OC.

Таким же образом, можем сказать, что MN = 2*MN.

Подставим полученные равенства в уравнения (1) и (2):

AB + 2OC + BC = 40
2MN + 2*NV + VN = 30

Из данного уравнения мы видим, что OC = 5 и NV = 10. Теперь можем рассмотреть треугольник АВО. Он также подобен треугольнику NBО. Значит, AB/OB = ON/NB = AN/AB = 2.

Пусть ON = 2х, тогда NB = 4х, AN = 8х. Так как также АС = 2*ОС, то АС = 10 + 8х = 5 + 4 х.

Таким образом, длина отрезка АС равна 15 + 6х.