Для доказательства, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, достаточно показать равенство векторов AB и CD, а также векторов AD и BC.

Найдем координаты векторов AB, AD, CD, BC:
AB = B - A = (-5 + 2; -6 + 4; -1 - 1) = (-3; -2; -2)
AD = D - A = (7 + 2; 12 + 4; 5 - 1) = (9; 16; 4)
CD = D - C = (7 - 4; 12 - 10; 5 - 3) = (3; 2; 2)
BC = C - B = (4 + 5; 10 + 6; 3 + 1) = (9; 16; 4)

Проверим, что AB = CD и AD = BC:
AB = (-3; -2; -2)
CD = (3; 2; 2)
AD = (9; 16; 4)
BC = (9; 16; 4)

Векторы AB и CD равны, а векторы AD и BC также равны. Значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Найдем центр симметрии параллелограмма ABCD. Центр симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей. Найдем координаты центра симметрии:

М = (A + C) / 2 = ((-2 + 4) / 2; (-4 + 10) / 2; (1 + 3) / 2) = (1; 3; 2)

Таким образом, четырехугольник ABCD является параллелограммом, и его центр симметрии имеет координаты (1; 3; 2).