Обозначим стороны прямоугольника основания призмы через [tex]a[/tex] и [tex]2a[/tex]. Тогда диагональ прямоугольника равна [tex]\sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}[/tex].

Так как меньшая сторона вдвое меньше диагонали, то [tex]a = \frac{1}{2}a\sqrt{5}[/tex], откуда [tex]\frac{1}{2}\sqrt{5} = 1[/tex]. Значит, [tex]a = \sqrt{5}[/tex], [tex]2a = 2\sqrt{5}[/tex].

Боковая поверхность призмы состоит из четырех прямоугольных треугольников, каждый из которых равен [tex]\frac{1}{2}ah[/tex], где [tex]h[/tex] - высота призмы. Поэтому суммарная площадь боковой поверхности равна [tex]4\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{3} = 2a\sqrt{3} = 2\sqrt{5}\sqrt{3} = 2\sqrt{15}[/tex].

Так как площадь боковой поверхности призмы равна [tex]30\sqrt{3}[/tex], то [tex]2\sqrt{15} = 30\sqrt{3}[/tex], откуда [tex]\sqrt{15} = 15[/tex]. Получаем, что [tex]a = \sqrt{5}[/tex], [tex]h = 15[/tex].

Теперь найдем радиус и высоту цилиндра. Радиус цилиндра равен основанию призмы, то есть [tex]r = \sqrt{5}[/tex]. Высота цилиндра равна расстоянию между скрещивающимся боковым ребром и диагональю основания призмы, то есть [tex]h_цил = 2+2\sqrt{3}[/tex].

Теперь можем найти объем цилиндра: [tex]V = \pi r^2 h_цил = \pi (\sqrt{5})^2 (2+2\sqrt{3}) = 5\pi (2+2\sqrt{3}) = 10\pi + 10\sqrt{3}\pi[/tex].

Ответ: объем цилиндра равен [tex]10\pi + 10\sqrt{3}\pi[/tex].