Для начала определим сторону куба ABCDA1B1C1D1.

Так как DE = 1 см, то AE = EB = 1/2 см.
Также, по свойствам куба, сторона куба равна диагонали одной из его граней. Таким образом, сторона куба ABCDA1B1C1D1 равна диагонали грани DEAB.

Треугольник ADE является прямоугольным, и его гипотенуза – диагональ DEAB. По теореме Пифагора:

AE^2 + AD^2 = DE^2
(1/2)^2 + AD^2 = 1^2
1/4 + AD^2 = 1
AD^2 = 1 - 1/4
AD^2 = 3/4
AD = √(3/4)
AD = √3/2

Таким образом, сторона куба ABCDA1B1C1D1 равна √3/2 см.

Объем куба равен длине ребра в кубе возводимой в куб:

V = (√3/2)^3 = 3√3/8 см^3

Ответ: объем куба ABCDA1B1C1D1 равен 3√3/8 см^3.