Пусть основание равнобедренного треугольника равно (a), а высота проведена к его основанию равна (h). Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса разделяет основание на две равные части, поэтому каждая часть будет равна (a/2).

Из условия задачи мы знаем, что периметр равнобедренного треугольника равен 64 см. Поэтому можем записать:

[2a + a = 64]
[3a = 64]
[a = 21.3333]

Теперь нам нужно найти высоту треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного половиной основания, высотой и биссектрисой:

[(h/2)^2 + x^2 = 16^2]
[(h/2)^2 + (a/2)^2 = 16^2]
[(h/2)^2 + (21.3333/2)^2 = 256]
[(h/2)^2 + 71.1111^2 = 256]
[(h/2)^2 = 256 - 71.1111^2]
[(h/2)^2 = 2125.7776]
[h = \sqrt{4251.5552}]
[h \approx 65.2332]

Теперь найдем площадь описанного круга, который вписан в равнобедренный треугольник. Площадь такого круга равна (S = \pi r^2), где (r) - радиус круга. Радиус круга равен высоте треугольника, то есть (r = h).

[S = \pi \times 65.2332^2]
[S \approx 13256.24]

Ответ: Площадь описанного круга равна примерно 13256.24 см^2.

Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон. Пусть боковые стороны трапеции равны (a) и (b), а основания равны (c) и (d). По условию задачи, длины диагоналей вписанной окружности до концов меньшего основания равны 65 см и 75 см, а до концов боковой стороны - 75 см и 100 см. По определению, диагонали вписанной окружности в трапецию равны биссектрисам углов с вершинами в точках касания окружности с трапецией. Таким образом, сумма этих диагоналей будет равно сумме боковых сторон трапеции:

[65 + 75 = a + b]
[140 = a + b]

[75 + 100 = c + d]
[175 = c + d]

Теперь найдем периметр трапеции:

[Perimeter = a + b + c + d]
[Perimeter = 140 + 175]
[Perimeter = 315]

Ответ: Периметр трапеции равен 315 см.