Для вычисления данного интеграла воспользуемся подстановкой. Обозначим t = sin(x), тогда dt = cos(x)dx. Подставим это в выражение:

∫[tex]\frac{cos x dx}{5+3 sin x} = ∫\frac{dt}{5+3t}[/tex]

Далее разделим числитель и знаменатель на 3:

= ∫[tex]\frac{dt}{1 + \frac{5}{3}t}[/tex] = ∫[tex]\frac{dt}{1 + \frac{5}{3}t}[/tex]

Теперь проведем преобразование:

= ∫[tex]\frac{dt}{(3 + 5t)/3}[/tex] = ∫[tex] 3\frac{dt}{3 + 5t}[/tex]

Теперь интеграл легко берется, получаем:

= 3ln|3 + 5t| + C

Подставляем обратно sin(x) вместо t:

= 3ln|3 + 5sin(x)| + C

Ответ: 3ln|3 + 5sin(x)| + C.