а) Для начала обратим внимание на треугольник CDO. Угол CDA=120 градусов, а угол CDO=90 градусов (так как радиус перпендикулярен хорде в точке пересечения).
Таким образом, угол CDO=90-120=-30 градусов.
Заметим, что треугольник CDO - равнобедренный, так как ОС=OD. Значит, угол OCD=-30 градусов.
Теперь посмотрим на треугольник OCD. Мы знаем углов OCD=-30 градусов, а угол CDO=90 градусов.
Посчитаем угол DOC через сумму углов в треугольнике OCD:
DOC=180-90-30=60 градусов.
Теперь, зная угол DOC=60 градусов, мы можем найти расстояние от точки О до хорды АВ по формуле:
OD = 2 R sin(DOC/2),
где R - радиус окружности, DOC - центральный угол, под которым находится хорда АВ.
Подставляем известные значения:
3 = 2 R sin(60/2),
3 = 2 R sin(30),
3 = 2 R 0.5,
R = 3 / 2 = 3√3 / 2.

б) Чтобы найти радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги АС, можем использовать свойство радиуса, проведенного к точке касания, перпендикулярен касательной.
Так как радиус вписанной окружности перпендикулярен касательной к точке касания, угол CAD равен углу CDA/2, то есть 120/2=60 градусов.
Поэтому радиус вписанной окружности равен
R = OD tan(CAD) = 3 tan(60) = 3 * √3 = 3√3.