Для начала найдем уравнение общего перпендикуляра для заданных прямых. Перпендикуляр должен быть параллелен векторному произведению направляющих векторов данных прямых. Найдем направляющие векторы для первой и второй прямых:

Для первой прямой:
a = (3 - 0)i + (5 - 0)j + (0 - 4)k = 3i + 5j - 4k

Для второй прямой:
b = (0 - 1)i + (1 - 0)j + (-4 - 0)k = -i + j - 4k

Теперь найдем векторное произведение этих векторов:
n = a x b = i(j(-4) - (-4)j) - j(3(-4) - (-4)3) + k(31 - 5(-1)) = -4i + 12j + 8k

Теперь у нас есть направляющий вектор для общего перпендикуляра: n = -4i + 12j + 8k

Теперь найдем уравнение плоскости, содержащей общий перпендикуляр и проходящей через точку (4;3;6):
-4(x - 4) + 12(y - 3) + 8(z - 6) = 0
-4x + 16 + 12y - 36 + 8z - 48 = 0
-4x + 12y + 8z - 68 = 0

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с прямыми. Для этого подставим параметрические уравнения прямых в уравнение плоскости и найдем значения параметра, при которых происходит пересечение. Подставим координаты точек прямых в параметрические уравнения:

Для первой прямой:
x = 3t
y = 5t
z = 4 - 4t

Подставляем и находим t:
-4(3t) + 12(5t) + 8(4 - 4t) - 68 = 0
-12t + 60t + 32 - 32t - 68 = 0
16t - 36 = 0
t = 2.25

Таким образом, точка пересечения первой прямой с плоскостью имеет координаты (6.75;11.25;-3).

Для второй прямой:
x = t
y = -4t
z = -4t

Подставляем и находим t:
-4(t) + 12(-4t) + 8(-4t) - 68 = 0
-4t - 48t - 32t - 68 = 0
-84t - 68 = 0
t = -0.8095

Таким образом, точка пересечения второй прямой с плоскостью имеет координаты (-0.8095;3.238;-3.238).

Теперь для каждой из прямых найдем расстояния от точки пересечения до заданных точек прямых. Найдем объем тела, образованного вращением треугольника вокруг общего перпендикуляра, используя интеграл для объема вращения.