Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а r - радиус вписанной окружности.
Т.к. касательная делит меньший катет на 1 и корень из 3, то получаем следующую систему уравнений:
a = r + r*sqrt(3)
b = r + r

Т.к. треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = c^2,
где c - гипотенуза треугольника.

Подставим значения a и b из системы уравнений и решим для c:
(r + rsqrt(3))^2 + (r + r)^2 = c^2
(r^2 + 2r^2sqrt(3) + 3r^2) + (r^2 + 2r^2 + r^2) = c^2
(3r^2 + 2r^2 + 6r^2) = c^2
c^2 = 11r^2
c = rsqrt(11)

Таким образом, углы треугольника равны:
α = 90°,
β = arctan(rsqrt(11) / (2r)),
γ = arctan(rsqrt(11) / (r + r*sqrt(3))).

Ответ: α = 90°, β = arctan(sqrt(11) / 2), γ = arctan(sqrt(11) / (1 + sqrt(3))).