Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a см и b см, а гипотенуза равна c см.

Так как радиус вписанной окружности равен 2 см, то радиус описанной окружности равен половине периметра треугольника, то есть 12 см.

Известно, что радиус описанной окружности треугольника равен половине длины гипотенузы. То есть r = c/2.

Из формулы периметра прямоугольного треугольника имеем:

a + b + c = 24.

Так как треугольник прямоугольный, то также выполняется теорема Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2.

Из этих двух уравнений можно исключить c и найти значения катетов a и b:

a + b + √(a^2 + b^2) = 24,

a^2 + b^2 = (24 - a - b)^2.

Решим систему уравнений методом подстановки или графически. Получим значения катетов a ≈ 9.7 см и b ≈ 7.7 см.

И, наконец, найдем радиус описанной окружности:

r = c/2 = √(a^2 + b^2)/2 = √(9.7^2 + 7.7^2)/2 ≈ 7.8 см.

Ответ: радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен приблизительно 7.8 см.