Нехай площа меншого трикутника дорівнює S, а площа більшого трикутника дорівнює 27 см^2.

Знаємо, що площа трикутника пропорційна квадрату його сторін (S1/S2 = a1^2/a2^2).

Оскільки трикутники подібні, то відношення площ трикутників дорівнює відношенню квадратів їх сторін:

S1/S2 = (a1/a2)^2.

Так як S2 > S, то (a1/a2)^2 = S2/S > 1.

Отже, з попередньої нерівності маємо, що a1/a2 > 1, тобто сторона меншого трикутника більша за відповідну сторону більшого трикутника.

Покажемо, що сторони трикутників будуть пропорційні сторонам квадратів їх площ.

Mалюнок до теми

Малюнок до теми

Периметр меншого трикутника:

P1 = 4K,

периметр більшого трикутника:

P2 = 5K,

де К – множник пропорційності.

Відси можна знайти сторону κ:

P1 = a1 + a1 + a1 = 4K,

P2 = a2 + a2 + a2 = 5K,

4K = 4*(a1 + a1 + a1),

5K = 5*(a2 + a2 + a2).

Отже:

a1 = 4K/3,

a2 = 5K/3.

Тоді площа трикутника:

S1 = (a1 * h1) / 2,

S2 = (a2 * h2) / 2,

де h1 і h2 – висоти трикутників.

Так як трикутники подібні, то висоти також будуть пропорційні сторонам трикутника.

Висоти будуть пропорційні сторонам трикутників:

h1 = 4K/3,

h2 = 5K/3.

Тепер можна виразити висоту через одну сторону:

h1 = 2*S1 / a1,

h2 = 2*S2 / a2.

Підставимо сторону через множник К:

h1 = 2 S1 / a1 = 2 S1 / (4 K / 3) = 3 S1 / K,

h2 = 2 S2 / a2 = 2 S2 / (5 K / 3) = 3 S2 / K.

Відси:

h1 = 3 * S1 / K,

h2 = 3 * S2 / K.

Далі можна підставити сторону трикутника через множник К у формулу для площі:

S1 = (a1 h1) / 2 = (4 K / 3 3 S1 / K) / 2 = 2 * S1,

S2 = (a2 h2) / 2 = (5 K / 3 3 S2 / K) / 2 = 5 * S2.

Таким чином:

27 = 5 * S2,

S2 = 27 / 5 = 5,4 см^2.

Тепер можна знайти площу меншого трикутника:

S1 = 2 S2 = 2 5,4 = 10,8 см^2.

Отже, площа меншого з подібних трикутників дорівнює 10,8 см^2.