В треугольнике ABC продолжения медиан из вершин B и C пересекают описанную окружность в точках B₁ и C₁ соответственно. На стороне AB выбрана точка X, а на стороне AC − точка Y так, что BX=2AX, CY=2AY. Докажите, что ∠BXC₁ =∠CYB₁.
В треугольнике ABC продолжения медиан из вершин B и C пересекают описанную окружность в точках B₁ и C₁ соответственно. На стороне AB выбрана точка X, а на стороне AC − точка Y так, что BX=2AX, CY=2AY. Докажите, что ∠BXC₁ =∠CYB₁.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим центр описанной окружности как O, точку пересечения продолжения медианы из вершины A с описанной окружностью как M, а точки пересечения прямых BO и CO с описанной окружностью как P и Q соответственно.
Из условия BX=2AX и CY=2AY следует, что AM=2MX и AN=2NY, где N - центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Так как N - центр описанной окружности, то BN=NC, а также \angle BNM = \angle CNM = 90^\circ, и, следовательно, BN=NM=MC=NC. Значит, проекции точек B, M, C на стороны треугольника равны.
Отсюда следует, что треугольники BPN и CQN равновеликие, а значит, \angle PBC = \angle QCB. С другой стороны, \angle PBC = \angle C₁BX и \angle QCB = \angle CB₁, так как BC - хорда, а BX и CY - касательные.
Итак, \angle BXC₁ = \angle BXP + \angle PXB = \angle C₁BX + \angle QBC = \angle CB₁ + \angle CB₁ = \angle CYB₁.
Таким образом, утверждение доказано.