Пусть высота треугольной пирамиды равна h, длина стороны основания равна a.

Так как пирамида правильная, то боковая сторона треугольной грани является прямоугольным треугольником с катетами a и h, а гипотенузой 2a (дважды длина стороны основания). Площадь такого треугольника равна 20√5.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна 1/2 a h = 20√5.

Площадь основания пирамиды равна (1/2)a(1/2)a = (1/4)a^2.

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 4, что означает, что высота прямоугольного треугольника равна 4, а также по теореме Пифагора h^2 + (a/2)^2 = (2a)^2.

Теперь мы можем найти a, подставив известные значения:

(1/2)a4 = 20√5

a = (40√5)/4 = 10√5

Теперь найдем h:

h^2 + (10√5/2)^2 = (2*10√5)^2

h^2 + 255 = 4100

h^2 + 125 = 400

h^2 = 275

h = √275

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна √275.