Длина наименьшей медианы равна половине высоты, проведенной из вершины равнобедренного треугольника к основанию (основание этого треугольника - это сторона, не равная другим двум сторонам).

Так как у равнобедренного треугольника медианы, биссектрисы и высоты, проведенные из вершины к основанию, совпадают, то кратчайшая медиана равна половине этой высоты.

Пусть треугольник ABC равнобедренный, AB = AC = 5, а BC = 2.

Чтобы найти эту длину, сначала найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника через стороны и полупериметр:

p = (AB + AC + BC)/2 = (5 + 5 + 2)/2 = 6

S = √[p(p-AB)(p-AC)(p-BC)] = √[6(6-5)(6-5)(6-2)] = √[6 1 1 * 4] = √24

Теперь найдем высоту треугольника из вершины C, проведенную к стороне AB (основание). Для этого воспользуемся формулой площади треугольника через основание и высоту:

S = 0.5 AC h
√24 = 0.5 5 h
√24 = 2.5h

h = √24 / 2.5 = 2√24 / 5

Теперь длина медианы, равная половине этой высоты, будет равна:

медиана = h / 2 = (2√24 / 5) / 2 = √24 / 5

Итак, длина наименьшей медианы равнобедренного треугольника с сторонами 2 и 5 равна √24 / 5.