Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках А, В и С, ABC = 90°. Точки касания К, Р и М; точка Р находится на стороне АС. Найдите угол КРМ.
Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках А, В и С, ABC = 90°. Точки касания К, Р и М; точка Р находится на стороне АС. Найдите угол КРМ.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что треугольник КРМ – прямоугольный, так как он является прямым углом между касательными, проведенными из точки касания к окружности.
Поскольку окружности соприкасаются внешним образом, то радиусы окружностей проведены к точке касания перпендикулярно и образуют касательные. Следовательно, треугольник КРМ – прямоугольный.
Так как АВС – прямоугольный, то угол КРМ будет равен сумме углов КРА и РМА. Аналогично, угол КРА равен сумме углов КАП и РАП, а угол ПАР – прямому углу, так как радиус окружности перпендикулярен касательной.
Итак, угол КРМ = угол КАП + угол РАП + угол РМА = 90−уголКАП90 - угол КАП90−уголКАП + 90−уголРАП90 - угол РАП90−уголРАП = 180 - угол КАП - угол РАП.
Поскольку угол КАП = угол ПАБ каксоответственныеуглыкак соответственные углыкаксоответственныеуглы, угол РАП = угол РАС каксоответственныеуглыкак соответственные углыкаксоответственныеуглы, то угол КАП + угол РАП = угол ПАС.
Угол ПАС = 90 градусов какпрямойуголвтреугольникеАВСкак прямой угол в треугольнике АВСкакпрямойуголвтреугольникеАВС.
Итак, угол КРМ = 180 - 90 = 90 градусов.
Итак, угол КРМ равен 90 градусов.