Обозначим точку пересечения биссектрисы МN с прямой MN как К. Так как треугольник MNP остроугольный, то биссектриса угла M является внутренней точкой треугольника и пересекает высоту NK. Также известно, что ОК = 9 см.

Так как биссектриса делит угол M на два равных угла, то угол MOK = 90 градусов. Тогда треугольник MOK является прямоугольным, а высота треугольника MNP от вершины M до прямой MN равна расстоянию от точки О до прямой MN.

Используя теорему Пифагора в треугольнике MOK, получаем:
MO^2 + OK^2 = MK^2
MO^2 + 9^2 = MK^2
MO^2 + 81 = MK^2

Нам осталось найти MO. Так как угол MOK = 90 градусов, то можно использовать тригонометрические функции. Так как угол MOK равен 90 градусов, то sin(MOK) = MO / MK. sin(90) = 1, поэтому получаем:
MO = MK

Подставляем это обратно в уравнение Пифагора:
MO^2 + 81 = MO^2
81 = MO^2
MO = 9 см

Таким образом, расстояние от точки О до прямой MN равно 9 см.

Обозначим основание равнобедренного треугольника как a. Так как угол при вершине равен 120 градусов, то другие два угла равны (180-120)/2 = 30 градусов.

Так как треугольник равнобедренный, он также является равносторонним. Тогда высота, проведённая к боковой стороне, является медианой и делит основание пополам.

Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника, образованных высотой и половиной основания. Один из углов равен 30 градусам, а гипотенуза равна 11 см.

Используя тригонометрию, получаем:
sin(30) = a/2 / 11
1/2 = a/22
a = 11 * 2
a = 22 см

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 22 см.